martes, 9 de noviembre de 2010

Funciones Homograficas.

Este tipo de funciones se incluyen dentro de las Funciones potenciales f(x) = xa donde a es un número cualquiera menor que cero, a < 0 .
Veamos que sucede cuando a = -1.
Grafiquemos f(x) = x – 1 podemos expresar esta ecuación de otro modo:
Completemos la tabla y coloquemos los puntos en un eje cartesiano:
x
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
f
(x)
- 0,20
- 0,25
- 0,33
- 0,50
- 1,00
No existe
1,00
0,25
0,33
0,25
0,20
No se puede dividir ningún número por cero, ya que todo número multiplicado por cero da como resultado únicamente cero. Así que del dominio de este tipo de funciones, hay que sacar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
Dominio: R – {0}
Vimos que no podemos calcular el valor de la función cuando x = 0. Cabe preguntarnos ¿qué sucede con los valores cercanos de cero? Completemos el cuadro poniendo valores cada vez más cercanos a ese número.
x
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
- 0,1
- 0,001
- 0,0001
- 0,00001
f
(x)
10
100
1000
10000
100000
- 10
- 100
- 1000
- 100000
Vemos que a medida que el valor de x es se acerca a cero (se dice: tiende a cero) el resultado crece, tiende a infinito.
El valor que tiende f(x) es el límite. Imagínate una pared a la que puedes acercarte todo lo que quieras, pero no la puedes tocar, esa misma representación es el límite. Cuando x → 0 (x tiende a cero), f(x) → ∞ ( f(x) tiende a infinito) y el infinito es el límite, el valor al que te podes cercar, pero no llegar.
De manera semejante, observamos que podemos acercarnos a cero cuanto queramos pero jamás x va a ser igual que cero, (x = 0). Este valor representa un corte en la función, lo llamamos asíntota. Este corte es paralelo al eje y, así que se lo llama Asíntota Vertical (A. V.)
Asíntota Vertical: {0}
Hagamos otra tabla con valores cada vez más grandes:
x
-1000
-100
-10
-1
No existe
1
10
100
1000
f
(x)
- 0,001
- 0,01
- 0,1
- 1
0
1
0,1
0,01
0,001
¿Qué sucede con la imagen?.
A medida que los valores de x se hacen más grande (tiende a infinito), o se hacen más chicos (tiende a menos infinito), los resultados son cada vez más pequeños. Pero la división de dos números jamás dará como resultado cero. Sobre el eje y hallamos este número que no es imagen de ningún elemento del dominio. Hallamos que este valor es una asíntota paralela al eje x, por lo que la llamamos Asíntota horizontal (A. H.). Asíntota Horizontal: {0}
Para cualquier función homográfica puede representarse como   
Las asíntotas están relacionadas con los límites.
La asíntota vertical está ubicada en el valor de las x cuyo límite tiende a infinito.
Para cualquier valor de a tenemos que:
La asíntota vertical es el valor de a.   A.V. = {a}
La asíntota horizontal es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.
Para cualquier valor de b tenemos que
La Asíntota horizontal es el valor de b. A. H. ={b}.

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