martes, 9 de noviembre de 2010

Funcion Modulo.

Definición
Específicamente, un módulo izquierdo sobre el anillo R consiste en un grupo abeliano (M, +) y una operación R × MM (multiplicación escalar, generalmente escrita sólo por yuxtaposición, es decir como rx para r en R y x en M) tal que
Para todo r, s en R, x, y en M, tenemos
  1. (rs)x = r(sx)
  2. (r+s)x = rx+sx
  3. r(x+y) = rx+ry
  4. 1x = x
Generalmente, escribimos simplemente "un R - módulo izquierdo M" o RM.
Algunos autorescita requerida[cita requerida] omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes "módulos izquierdos unitales". En este artículo sin embargo, todos los módulos (y todos los anillos) se presuponen unitales. Por lo general, para módulos, en la mayoría de los textos se consiera la condición 4, mientras que para anillos no se supone que exista elemento unidad, excepto que se diga lo contrario.
Un R módulo derecho M o MR se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir tenemos una multiplicación escalar de la forma M × RM, y los tres axiomas antedichos se escriben con los escalares r y s a la derecha de x e y.
Si R es conmutativo, entonces los R-módulos a la izquierda son lo mismo que R-módulos a la derecha y se llaman simplemente R-módulos.
Tipos de módulos
Finitamente generado. Un módulo M es finitamente generado si existe un número finito de elementos x1..., xn en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes del anillo escalar R.
Libre. Un módulo libre es un módulo que tiene una base, o equivalentemente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo escalar R. Éstos son los módulos que se comportan parecido a los espacios vectoriales.
Proyectivo. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.
Inyectivo. Los módulos inyectivos se definen dualmente a los módulos proyectivos.
Simple. Un módulo simple S es un módulo que no es {0} cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se llaman irreducibles.
Indescomponible. Un módulo indescomponible es un módulo diferente a cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple es indescomponible.
Fiel. Un módulo fiel M es uno donde la acción de cada r en R da una función inyectiva M → M. Equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero.
Noetheriano. Un módulo noetheriano es un módulo tal que cada submódulo es finitamente generado. Equivalente, cada cadena creciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.
Artiniano. Un módulo artiniano es un módulo en el cual cada cadena decreciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

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