martes, 9 de noviembre de 2010

Funciones Trignometricas.

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

La función seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Gráfica de la función seno.

La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

La función coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Gráfica de la función coseno.

La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

La función tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

Gráfica de la función tangente.

La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Funciones Homograficas.

Función Homográfica
Se llaman funciones racionales a las funciones definidas por las siguientes fórmulas y= P(x)/Q(x), siendo P(x) y Q(x) polinomios reales. Si Q(x)= a(función constante) la función racional es una función polinómica. Las funciones polinómicas son casos particulares de las funciones racionales. Como la función responde a una división de polinomios, el denominador debe ser distito de 0. ¿Por qué? Esto es así porque no está definida la división por 0, y por lo tanto, todo número dividido 0, tiende a infinito.

Por lo tanto, antes de graficar un función homográfica, es necesario calcular el dominio. Para ello, igualamos el denominador a 0. En símbolos: Q(x)=0. Por ejemplo, si queremos graficar Y= 1/(x-2), debemos primero calcular el dominio: x-2= 0, por lo tanto x=2, que es el punto donde la función no está definida por ende presenta Asíntota Vertical( AV: x=2). Además de presentar Asíntota Vertical, las funciones racionales presentan Asíntota Horizontal (AH). Ejemplo: Y=1/(X-2)+3, su Asíntota Vertical está dada por Y=3. ¿Por qué? Si reemplazamos en la fórmula Y=3, nos queda lo siguiente: 3=1/(x-2)+3 Por propiedad cancelativa, cancelo los 3, quedando 0=1/(x-2) Si paso multiplicando el paréntesis por 0, al ser el 0 el elemento absorbente de la multiplicación, me queda que cero es igual a 1, y esto es un absurdo! Hasta ahora hemos definido las funciones racionales. Ahora definiremos las funciones homográficas: una Función Homográfica es una función de la forma Y= (ax+b)/(cx+d),con c distinto de 0. ¿Por qué?, porque si c=0, la función queda de la forma siguiente: Y=(ax+b)/(0x+d), quedando una función lineal. Para graficar un función homográfica, proseguimos de igual forma que con las funciones racionales. Por lo tanto, AV:x=-d/c, y, AH: Y=a/c, siempre y cuando el grado de los polinomios es el mismo. De no ser así, realizamos la división de polinomios. El resto de la división es la AH.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_homogr%C3%A1fica"

Funciones Homograficas.

Este tipo de funciones se incluyen dentro de las Funciones potenciales f_(x) = x^a donde a es un número cualquiera menor que cero, a < 0 .
Veamos que sucede cuando a = -1.
Grafiquemos f_(x) = x ^{– 1}podemos expresar esta ecuación de otro modo:

Completemos la tabla y coloquemos los puntos en un eje cartesiano:

x	- 5	- 4	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3	4	5
f _(x)	- 0,20	- 0,25	- 0,33	- 0,50	- 1,00	No existe	1,00	0,25	0,33	0,25	0,20

No se puede dividir ningún número por cero, ya que todo número multiplicado por cero da como resultado únicamente cero. Así que del dominio de este tipo de funciones, hay que sacar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.

Dominio: R – {0}

Vimos que no podemos calcular el valor de la función cuando x = 0. Cabe preguntarnos ¿qué sucede con los valores cercanos de cero? Completemos el cuadro poniendo valores cada vez más cercanos a ese número.

x	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	- 0,1	- 0,001	- 0,0001	- 0,00001
f _(x)	10	100	1000	10000	100000	- 10	- 100	- 1000	- 100000

Vemos que a medida que el valor de x es se acerca a cero (se dice: tiende a cero) el resultado crece, tiende a infinito.

El valor que tiende f_(x) es el límite. Imagínate una pared a la que puedes acercarte todo lo que quieras, pero no la puedes tocar, esa misma representación es el límite. Cuando x → 0 (x tiende a cero), f_(x) → ∞ ( f_(x) tiende a infinito) y el infinito es el límite, el valor al que te podes cercar, pero no llegar.

De manera semejante, observamos que podemos acercarnos a cero cuanto queramos pero jamás x va a ser igual que cero, (x = 0). Este valor representa un corte en la función, lo llamamos asíntota. Este corte es paralelo al eje y, así que se lo llama Asíntota Vertical (A. V.)

Asíntota Vertical: {0}

Hagamos otra tabla con valores cada vez más grandes:

x	-1000	-100	-10	-1	No existe	1	10	100	1000
f _(x)	- 0,001	- 0,01	- 0,1	- 1	0	1	0,1	0,01	0,001

¿Qué sucede con la imagen?.

A medida que los valores de x se hacen más grande (tiende a infinito), o se hacen más chicos (tiende a menos infinito), los resultados son cada vez más pequeños. Pero la división de dos números jamás dará como resultado cero. Sobre el eje y hallamos este número que no es imagen de ningún elemento del dominio. Hallamos que este valor es una asíntota paralela al eje x, por lo que la llamamos Asíntota horizontal (A. H.). Asíntota Horizontal: {0}

Para cualquier función homográfica puede representarse como

Las asíntotas están relacionadas con los límites.

La asíntota vertical está ubicada en el valor de las x cuyo límite tiende a infinito.

Para cualquier valor de a tenemos que:

La asíntota vertical es el valor de a. A.V. = {a}

La asíntota horizontal es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.

Para cualquier valor de b tenemos que

La Asíntota horizontal es el valor de b. A. H. ={b}.

¿Qué es un módulo?

El cuarto elemento fundamental de nuestro viaje por la programación está representado por la programación modular. En realidad, esta técnica no es estrictamente necesaria ya que con lo que hemos visto hasta ahora podés crear programas interesantes y útiles. Sin embargo, cuando los programas se vuelven más complejos y más extensos, se hace más difícil rastrear los errores y analizar su funcionalidad. Con este fin necesitamos disponer de una técnica que nos permita concentrarnos realmente en los problemas que debemos resolver con nuestro programa y abstraernos de los detalles particulares y de la parafernalia técnica que hace funcionar a la computadora. De algún modo esta tarea la cumplen Python, BASIC, etc. ya que con sus funciones incorporadas y predeterminadas evitan que nosotros debamos tratar directamente con el hardware de la computadora para realizar diversas tareas típicas como leer un archivo, comprobar que una tecla se ha presionado, etc.
El objetivo de la programación modular es extender las capacidades predeterminadas de un lenguaje mediante porciones de código empacadas en diferentes módulos, los cuales pueden ser fácilmente insertados en nuestros programas. La primera forma de programación modular fue la subrutina que era un bloque de código al cual se podía saltar (similar a la instrucción GOTO que hemos mencionado antes) y una vez ejecutado el bloque, el programa devolvía el control a la instrucción siguiente a la que había producido la llamada. Esta técnica modular se conoce con el nombre de procedimiento o función. En Python y en otros lenguajes, el término módulo tiene un significado especial que explicaremos más adelante; mientras tanto veamos más en detalle las funciones.

Funcion Modulo.

Definición alternativa como representaciones
Si M es un R-módulo izquierdo, entonces la acción de un elemento r en R se define como la función M → M que envía cada x al rx (o al xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano (M, +). El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M es denotado End_Z(M) y forma un anillo bajo la adición y composición, y enviando un elemento r del anillo R a su acción define realmente un homomorfismo de anillo de R a End_Z(M).
Tal del homorfismo R del anillo → End_Z(M) se llama una representación de R en el grupo abeliano M; una manera alternativa y equivalente de definir R-módulos izquierdos es decir que un R-módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R en él.
Una representación se llama fiel si y solamente si la función R → End_Z(M) es inyectiva. En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M, entonces r = 0. Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre una cierta aritmética modular Z/n Z.
Generalizaciones
Cualquier anillo R se puede ver como categoría preaditiva con un solo objeto. Con esta comprensión, un R-módulo izquierdo es un funtor aditivo (covariante) de R a la categoría Ab grupos abelianos. Los R-módulos derechos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab sea considerado un módulo izquierdo generalizado sobre C; estos funtores forman una categoría de funtores C-Mod que es la generalización natural de la categoría de módulos R-Mod.
Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección distinta: tome un espacio anillado (X, O_X) y considere los haces de O_X-módulos. Éstos forman una categoría O_X-Mod. Si X tiene solamente un punto, entonces esto es una categoría de módulo en el viejo sentido sobre el anillo conmutativo O_X(X).

Funcion Modulo.

Definición
Específicamente, un módulo izquierdo sobre el anillo R consiste en un grupo abeliano (M, +) y una operación R × M → M (multiplicación escalar, generalmente escrita sólo por yuxtaposición, es decir como rx para r en R y x en M) tal que
Para todo r, s en R, x, y en M, tenemos

(rs)x = r(sx)
(r+s)x = rx+sx
r(x+y) = rx+ry
1x = x

Generalmente, escribimos simplemente "un R - módulo izquierdo M" o _RM.
Algunos autorescita requerida^{[cita requerida]} omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes "módulos izquierdos unitales". En este artículo sin embargo, todos los módulos (y todos los anillos) se presuponen unitales. Por lo general, para módulos, en la mayoría de los textos se consiera la condición 4, mientras que para anillos no se supone que exista elemento unidad, excepto que se diga lo contrario.
Un R módulo derecho M o M_R se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir tenemos una multiplicación escalar de la forma M × R → M, y los tres axiomas antedichos se escriben con los escalares r y s a la derecha de x e y.
Si R es conmutativo, entonces los R-módulos a la izquierda son lo mismo que R-módulos a la derecha y se llaman simplemente R-módulos.
Tipos de módulos
Finitamente generado. Un módulo M es finitamente generado si existe un número finito de elementos x₁..., x_n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes del anillo escalar R.
Libre. Un módulo libre es un módulo que tiene una base, o equivalentemente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo escalar R. Éstos son los módulos que se comportan parecido a los espacios vectoriales.
Proyectivo. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.
Inyectivo. Los módulos inyectivos se definen dualmente a los módulos proyectivos.
Simple. Un módulo simple S es un módulo que no es {0} cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se llaman irreducibles.
Indescomponible. Un módulo indescomponible es un módulo diferente a cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple es indescomponible.
Fiel. Un módulo fiel M es uno donde la acción de cada r en R da una función inyectiva M → M. Equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero.
Noetheriano. Un módulo noetheriano es un módulo tal que cada submódulo es finitamente generado. Equivalente, cada cadena creciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.
Artiniano. Un módulo artiniano es un módulo en el cual cada cadena decreciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

martes, 2 de noviembre de 2010

Funcion Logaritmica .

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.